Divisibilidade Por 11 [PROVA]

Introdução

Critérios de divisibilidade fornecem um modo de sabermos se um número é divisível por outro sem a necessidade de realizarmos o cálculo para tal. É através desses critérios que sabemos que todo número par é divisível por 2 e que todo número que é divisível por 3 tem a soma de seus algarismos múltipla de 3. Por outro lado, existem alguns critérios bastantes curiosos, como o da divisibilidade por 11, que iremos ver como ele funciona e, principalmente, porquê ele funciona.

Divisibilidade por 11

A referência [1] afirma que:

"Um número é divisível por 11, caso a soma dos algarismos
de ordem par subtraídos da soma dos algarismos de ordem ímpar,
resultar em um número divisível por 11. Caso o resultado seja
igual a 0, pode-se afirmar também que é divisível por 11."

Em [2] temos uma forma mais concisa e geral:

A number N is divisible by 11 if the alternating sum
of the digits is divisible by 11.

Um número N é divísivel por 11 se a soma alternada de
seus dígitos é divisível por 11.

Isso implica que subtraindo algarismos de ordem par por ordem ímpar ou subtraindo os de ordem ímpar pelos de ordem par tem o mesmo significado, pois o que importa é que cada termo tenha um sinal de modo alternado. Exemplo:

890918445 =  1-0+8-9+0-9+1-8+4-4+5 = -11
           ou
          = -1+0-8+9-0+9-1+8-4+4-5 =  11

Em ambos os casos obtivemos um número múltiplo de onze (11 e -11), indicando que o número 890918445 é também um múltiplo de 11.

A prova

A prova pode ser feita de vários modos, mas aqui veremos duas, como indicado na referência [2]. A primeira envolve aritmética modular e a segunda algumas manipulações algébricas.

Prova 1

A aritmética modular é uma parte da Teoria de Números em que as operações são sempre moduladas. Não é objetivo desse post entrar em detalhes sobre isso, mas aprenderemos somente o suficiente para a prova.

Bem, uma operação modular resulta no resto da divisão do primeiro número pelo segundo.

12 mod 5 = 2

Isso é, o número 12 resulta em 2 em módulo 5. Quando dois números resultam num mesmo módulo, dizemos que eles são congruentes (≡):

78 ≡ 15 (mod 7)

Os números 78 e 15 são congruentes em módulo 7, porque ambos têm resto 1 quando divididos por 7.

Lembrando que o conceito de módulo é aplicado para todos números inteiros e assim também inclui-se os números negativos:

10 ≡ -1 (mod 11)

10 e -1 são congruentes em módulo 11, porque ambos têm resto 10 quando divididos por 11 (obs: -1 = (-1)*11 + 10).

Isso é o suficiente para provarmos o critério de divisibilidade por 11. O nosso próximo passo é considerarmos um número escrito na base 10 em sua forma polinomial:

Seja N=[ak][ak-1][ak-2]...[a2][a1] um número inteiro de algarismos
                                        [ai], logo:

N = 10^k*[ak] + 10^(k-1)*[ak-1] + ... + 10^2*[a2] + [a1]

Pelas seguintes regras de congruência [3]:

a + b ≡ c + d (mod b)
a * b ≡ c * d (mod b)

se a ≡ c (mod b) e b ≡ d (mod b)

podemos afirmar que:

10^k*[ak] + 10^(k-1)*[ak-1] + .... ≡ (-1)^k*[ak] + (-1)^(k-1)*[ak-1] + ...

pois 10 ≡ -1 (mod 11).

Assim, trocando-se o 10 pelo -1 no nosso N polinomial, temos:

N = (-1)^k*[ak] + (-1)^(k-1)*[ak-1] + ... + (-1)^2*[a2] + [a1]
N = [ak]-[ak-1]+[ak-2]...+[a2]-[a1]

Os termos em posições pares ficaram com sinal positivo e os de posições ímpares com sinal negativo. Isso nada mais é que uma alternância dos sinais dos termos. Em outras palavras, o número N só é divisível por 11 se a soma alternada de seus termos também for divisível por 11. (cqd)

obs: a representação dos termos ficou um pouco ruim. Não deixe de conferir a referência [2] que utiliza a sintaxe familiar do LaTex nas operações.

Prova 2

Essa prova não exige conhecimentos de aritmética modular. Considere um número de três algarismos, que expandido, poderá ser escrito como:

N = 100a + 10b + c
sendo a, b e c seus algarismos.

Alternativamente, podemos reescrever esse número como:

N = (99a + a) + (11b - b) + c
ou
N = (99a + 11b) + (a - b + c)
ou
N = 11*(9a + b) + (a - b + c)

Como 11*(9a + b) é múltiplo de 11, então N só é divisível por 11 se (a – b + c) também o for. Mas (a -b + c) nada mais é que a soma alternada dos termos de N, o que corresponde com o critério de divisibilidade. (cqd)

Aqui consideramos um número de três algarismos, mas o conceito é o mesmo para qualquer número de algarismos.

Referências

[1] Divisibilidade por 11 by Escola Kids (Acessado em: Dezembro/2012)
http://www.escolakids.com/divisibilidade-por-11.htm

[2] Divisibility rules/Rule for 11 proof by Art Of Problem Solving (Acessado em: Dezembro/2012)
http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/Divisibility_rules/Rule_for_11_proof

[3] Modular arithmetic/Introduction by Art Of Problem Solving (Acessado em: Dezembro/2012)
http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/Introduction_to_modular_arithmetic